Question

設(shè)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)P（1，2）且與x、y軸的正半軸分別交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)坐標(biāo)，求△AOB周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)的截距式方程

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：設(shè)出直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距，再設(shè)∠OAB=α，把三角形的三邊用α表示，然后利用萬(wàn)能公式化簡(jiǎn)，換元后由基本不等式求最值．

解答： 解：設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（a，0），B（0，b），其中a＞0，b＞0，
設(shè)∠OAB=α，α∈(0，

π

2

)，則：
OA=a=1+

2

tanα

，OB=b=2+tanα，
AB=

2

sinα

+

1

cosα

，
周長(zhǎng)=OA+AB+BO=3+

2

tanα

+tanα+

2

sinα

+

1

cosα

=1+2+

2

2tan α 2 1-tan2 α 2

+

2tan α 2

1-tan2 α 2

+

2

2tan α 2 1+tan2 α 2

+

1

1-tan2 α 2 1+tan2 α 2

=2+

2

tan α 2 (1-tan α 2 )

．
令tan

α

2

=x，x∈（0，1），則：
周長(zhǎng)=2+

2

x(1-x)

≥2+2•(

2

x+1-x

)2=10．
當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x，即x=

1

2

時(shí)，周長(zhǎng)取最小值10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)的截距式方程，考查了三角函數(shù)的萬(wàn)能公式，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．