Question

已知函數f（x）=x²-2a²lnx（a＞0）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）記函數f（x）的最小值為M，求證：M≤1．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）確定函數的定義域，求導函數，利用導數的正負，可得函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）的最小值M=a²-2a²lna，令g（x）=x²-2x²lnx（x＞0）求出函數的最大值，即可得出結論．

解答： （Ⅰ）解：f（x）=x²-2a²lnx（a＞0）的定義域為（0，+∞）．
f′(x)=2x-

2a2

x

=

2x2-2a2

x

=

2(x+a)(x-a)

x

．…（2分）
令f'（x）=0，解得x=a或x=-a（舍）．
當x在（0，+∞）內變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	a2-2a2lna	↗

由上表知，f（x）的單調遞增區(qū)間為（a，+∞）；f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，a）．…（5分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，f（x）的最小值M=a²-2a²lna．…（6分）
令g（x）=x²-2x²lnx（x＞0），則g'（x）=2x-4xlnx-2x=-4xlnx．
令g'（x）=0，解得x=1．…（8分）
當x在（0，+∞）內變化時，g'（x），g（x）的變化情況如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	1	↘

所以函數g（x）的最大值為1，即g（x）≤1．
因為a＞0，所以 M=a²-2a²lna≤1．…（11分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，正確求導是關鍵．