Question

如圖，已知△ABC邊上作勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)D、E、F在時(shí)刻t=0時(shí)，分別從A、B、C出發(fā)，各以一定速度向B、C、A前進(jìn)．當(dāng)時(shí)刻t=1時(shí)到在B、C、A．

（1）試證明在運(yùn)動(dòng)過程中，△DEF的重心不變；

（2）若△ABC的面積是S，求△DEF面積的最小值．

Answer 1

（1）證明:設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），△DEF的重心O（x₀，y₀）由題意，在同一時(shí)刻t，D、E、F分、、所成的比相同，設(shè)為λ，則λ====.

由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：D（tx_B+（1-t）x_A，ty_B+（1-t）y_A），E（tx_C+（1-t）x_B，ty_C+（1-t）y_B），F(xiàn)（tx_A+（1-t）x_C，ty_A+（1-t）y_C）由三角形重心坐標(biāo)公式x₀=（x_D+x_E+x_F），y₀=（y_D+y_E+y_F）把D、E、F的坐標(biāo)代入x₀、y₀中，求得△DEF的重心坐標(biāo)為（）.

它與t無關(guān)，即在運(yùn)動(dòng)過程中△DEF重心不變.

（2）解：∵=t，=1-t，∴S_△DFA∶S_△ABC=（AD·AF）∶（AB·AC）=t（1-t），即S_△DFA=t（1-t）S，同理，S_△EFC=S_△DEB=t（1-t）S

∴S_△DEF=S_△ABC-（S_△DFA+S_△DEB+S_△EFC）=（3t²-3t+1）S=[3（t-）²+]S（0≤t≤1）.

所以，當(dāng)t=時(shí)，S_△DEF的面積最小值為S.