精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
如圖是一幅招貼畫的示意圖,其中ABCD是邊長為2a的正方形,周圍是四個全等的弓形.已知O為正方形的中心,G為AD的中點,點P在直線OG上,弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分,OG的延長線交弧AD于點H.設弧AD的長為l,.(1)求l關于θ的函數關系式;(2)定義比值為招貼畫的優(yōu)美系數,當優(yōu)美系數最大時,招貼畫最優(yōu)美.證明:當角θ滿足:時,招貼畫最優(yōu)美.

【答案】分析:(1)先對θ所在范圍分情況求解,最后綜合即可;
(2)先根據條件求出OP=a-,θ∈(,);進而得到=,然后借助于兩次求導求出函數的最大值點即可得到結論.
解答:解:(1)當θ∈(,)時,點P在線段OG上,AP=;
當θ∈()時,點P在線段GH上,AP==;
當θ=時,AP=a.
綜上所述AP=,θ∈(),
所以,弧AD的長L=AP•2θ=
故所求函數關系式為L=,θ∈(,).
(2)證明:當θ∈(,)時,OP=OG-PG=a-=a-;
當θ∈()時,OP=OG+GH=a+=a-=a-;
當θ=時,OP=a.
所以,OP=a-,θ∈(,).
從而,=,θ∈(,).
記f(θ)=,θ∈().
則f′(θ)=
令f′(θ)=0得θ(cosθ+sinθ)=sinθ-cosθ
因為θ∈(,)所以cosθ+sinθ≠0,從而θ=,
顯然θ≠,所以θ===tan(θ-
記滿足θ=tan(θ-)的θ=θ.下面證明θ是函數f(θ)的極值點.
設g(θ)=θ(cosθ+sinθ)-(sinθ-cosθ),θ∈(),
則g′(θ)=θ(cosθ-sinθ)<0上θ∈(,)恒成立.
從而g(θ)在θ∈(,)上單調遞減,
所以,當θ∈(,θ)時g(θ)>0,即f′(θ)>0,f(θ)在(,θ)上單調遞增,
當θ∈(θ,)時,g(θ)<0,即f′(θ)<0,f(θ)在(θ)上單調遞減.
故f(θ)在θ=θ.處取得極大值也是最大值.
所以:當θ滿足θ=tan(θ-)時,函數f(θ)即取得最大值,此時招貼畫最優(yōu)美.
點評:本題主要考察解三角形在生活中的應用問題.解決本題的第二問時涉及到了兩次求導來求函數的最值,難度較大.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

如圖是一幅招貼畫的示意圖,其中ABCD是邊長為2a的正方形,周圍是四個全等的弓形.已知O為正方形的中心,G為AD的中點,點P在直線OG上,弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分,OG的延長線交弧AD于點H.設弧AD的長為l,∠APH=θ,θ∈(
π
4
,
4
)
.(1)求l關于θ的函數關系式;(2)定義比值
OP
l
為招貼畫的優(yōu)美系數,當優(yōu)美系數最大時,招貼畫最優(yōu)美.證明:當角θ滿足:θ=tan(θ-
π
4
)
時,招貼畫最優(yōu)美.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

如圖是曲柄連桿機構的示意圖,當曲柄CB繞點C旋轉時,通過連桿AB的傳遞,活塞作直線往復運動.當曲柄在CB0位置時,曲柄和連桿成一條直線,連桿的端點A在A0處,設連桿AB長為lmm,曲柄CB長為rmm,l>r
(1)若l=300mm,r=80mm,當曲柄CB按順時針方向旋轉角為θ時,連桿的端點A此時離A0的距離為A0A=110mm,求cosθ的值;
(2)當曲柄CB按順時針方向旋轉角θ為任意角時,試用l,r和θ表示活塞移動的距離(即連桿的端點A移動的距離A0A)
精英家教網

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:江蘇省常州市2012屆高三教育學會學業(yè)水平監(jiān)測數學試題 題型:044

如圖是一幅招貼畫的示意圖,其中ABCD是邊長為2a的正方形,周圍是四個全等的弓形.已知O為正方形的中心,G為AD的中點,點P在直線OG上,弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分,OG的延長線交弧AD于點H.設弧AD的長為l,∠APH=,∈().

(1)求l關于的函數關系式;

(2)定義比值為招貼畫的優(yōu)美系數,當優(yōu)美系數最大時,招貼畫最優(yōu)美.證明:當角滿足:=tan()時,招貼畫最優(yōu)美.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:江蘇期末題 題型:解答題

如圖是一幅招貼畫的示意圖,其中ABCD是邊長為2a的正方形,周圍是四個全等的弓形.已知O為正方形的中心,G為AD的中點,點P在直線OG上,弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分,OG的延長線交弧AD于點H.設弧AD的長為l,
(1)求l關于θ的函數關系式;
(2)定義比值為招貼畫的優(yōu)美系數,當優(yōu)美系數最大時,招貼畫最優(yōu)美.證明:當角θ滿足:時,招貼畫最優(yōu)美.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案