Question

【題目】已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）＝x（lnx﹣ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2）．

（1）求a的取值范圍；

（2）證明：．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（1）對f（x）求導(dǎo)，對a≤0，a＞0兩種情況分析函數(shù)的單調(diào)性，研究有兩個(gè)極值點(diǎn)限制條件;

（2）根據(jù)（1）中單調(diào)性的分析，可得，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以，結(jié)合單調(diào)性，以及范圍邊界點(diǎn)的函數(shù)值，可得的范圍，從而可得證.

（1）求導(dǎo)得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），

由題意可得函數(shù)g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．

∵．

當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，f′（x）單調(diào)遞增，

因此g（x）＝f′（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去；

當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）＝0，解得，

所以單調(diào)遞增，

單調(diào)遞減．

所以是g（x）的極大值點(diǎn)，

則，解得；

（2）g（x）＝0有兩個(gè)根x1，x2，且，

又g（1）＝1﹣2a＞0，所以，

從而可知f（x）在區(qū)間（0，x1）上遞減，在區(qū)間（x1，x2）上遞增，在區(qū)間（x2，+∞）上遞減．

所以，

所以．