如圖,已知橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013119957641.png)
的左焦點為F,過點F的直線交橢圓于A、B兩點,線段AB的中點為G,AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D、E兩點.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013119988721.png)
(Ⅰ)若點G的橫坐標為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120003312.png)
,求直線AB的斜率;
(Ⅱ)記△GFD的面積為S
1,△OED(O為原點)的面積為S
2.
試問:是否存在直線AB,使得S
1=S
2?說明理由.
試題分析:(Ⅰ)依題意,直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120050396.png)
的斜率存在,設其方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120237618.png)
.
將其代入
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120253706.png)
,
整理得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240131202841063.png)
.
設
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120300616.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120315644.png)
, 所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120347916.png)
. 4分
故點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120362316.png)
的橫坐標為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120393905.png)
.
依題意,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120425739.png)
,
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120035498.png)
. 6分
(Ⅱ)解:假設存在直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120050396.png)
,使得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120066466.png)
,顯然直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120050396.png)
不能與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120503403.png)
軸垂直.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120534649.png)
由(Ⅰ)可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240131205491057.png)
.
因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120581559.png)
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240131205961210.png)
,
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120627771.png)
, 即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120643877.png)
.
因為 △
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120659471.png)
∽△
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120690463.png)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120705847.png)
.
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240131207371660.png)
,
整理得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120768606.png)
.
因為此方程無解,所以不存在直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120050396.png)
,使得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013120066466.png)
. 12分
點評:中檔題,曲線關系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運用韋達定理。本題(2)利用弦長公式,確定得到三角形面積表達式,實現(xiàn)對“存在性問題”的研究。
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240142378091083.png)
的左焦點為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014237825302.png)
,過點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014237825302.png)
的直線交橢圓于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014237856300.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014237871309.png)
兩點.當直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014237934396.png)
經(jīng)過橢圓的一個頂點時,其傾斜角恰為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014237965376.png)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240142379812533.png)
(Ⅰ)求該橢圓的離心率;
(Ⅱ)設線段
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014237934396.png)
的中點為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014238027316.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014237934396.png)
的中垂線與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014238059266.png)
軸和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014238090310.png)
軸分別交于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014238121440.png)
兩點,
記△
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014238137471.png)
的面積為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014238152343.png)
,△
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014238183463.png)
(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014238230292.png)
為原點)的面積為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014238246375.png)
,求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014238277466.png)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知動點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013820346556.png)
在橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013820362784.png)
上,若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013820393298.png)
點坐標為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013820409449.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013820440569.png)
,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013820471650.png)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013820487485.png)
的最小值是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013156991869.png)
的準線經(jīng)過橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240131570071105.png)
的左焦點,且經(jīng)過拋物線與橢圓兩個交點的弦過拋物線的焦點,則橢圓的離心率為_____________
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知點
P是雙曲線
C:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240130539671022.png)
左支上一點,
F1,
F2是雙曲線的左、右兩個焦點,且
PF1⊥
PF2,
PF2與兩條漸近線相交于
M,N兩點(如圖),點
N恰好平分線段
PF2,則雙曲線的離心率是( )
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240130539834822.png)
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821336327.png)
(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821352214.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821368212.png)
)的圖象恒過定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821383207.png)
,橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821383200.png)
:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821399337.png)
(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821414240.png)
)的左,右焦點分別為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821430203.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821446210.png)
,直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821461188.png)
經(jīng)過點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821383207.png)
且與⊙
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821492193.png)
:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821508363.png)
相切.
(1)求直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821461188.png)
的方程;
(2)若直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821461188.png)
經(jīng)過點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821446210.png)
并與橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821383200.png)
在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821586189.png)
軸上方的交點為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821602195.png)
,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821617339.png)
,求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012821617249.png)
內(nèi)切圓的方程.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知直線
l過雙曲線
C的一個焦點,且與
C的對稱軸垂直,
l與
C交于
A、
B兩點,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012249976402.png)
為
C的實軸長的2倍,則雙曲線
C的離心率為( )
A.![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012249992312.png) | B.2 | C.![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012250007307.png) | D.3 |
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