Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 常數(shù)λ＞0，且λa1an=S1+Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)a1＞0，λ=100，當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列 的前n項(xiàng)和最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，

∴a1（λa1﹣2）=0

若取a1=0，則Sn=0，an=Sn﹣Sn﹣1=0

∴an=0（n≥1）

若a1≠0，則 ，當(dāng)n≥2時(shí)，2an= ，

兩式相減可得，2an﹣2an﹣1=an

∴an=2an﹣1，從而可得數(shù)列{an}是等比數(shù)列

∴an=a12n﹣1= =

綜上可得，當(dāng)a1=0時(shí)，an=0，當(dāng)a1≠0時(shí)，

（2）解：當(dāng)a1＞0且λ=100時(shí)，令

由（1）可知

∴{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，公差為﹣lg2

∴b1＞b2＞…＞b6= ＞0

當(dāng)n≥7時(shí)，

∴數(shù)列 的前6項(xiàng)和最大

【解析】（1）由題意，n=1時(shí)，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分類討論：由a1=0，及a1≠0，結(jié)合數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推公式可求（2）由a1＞0且λ=100時(shí)，令 ，則 ，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可求和的最大項(xiàng)
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．