Question

已（12分）知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)是F（0，1）．

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）直線過(guò)點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且，求直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ）．

【解析】

試題分析： （1）根據(jù)已知中的條件得到離心率和a的關(guān)系式，進(jìn)而得到橢圓的方程。

（2）對(duì)于直線斜率是否存在要給予討論，并聯(lián)立方程組的思想，結(jié)合韋達(dá)定理和向量關(guān)系式得到k的方程，求解得到k的值。

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為（>b>0）．

依題意，, c=1，，，………………………………2分

∴所求橢圓方程為 ．………4分

（Ⅱ）若直線的斜率k不存在，則不滿足．

當(dāng)直線的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．因?yàn)橹本�過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F（0，1），所以取任何實(shí)數(shù), 直線與橢圓均有兩個(gè)交點(diǎn)A、B．

設(shè)A 

聯(lián)立方程   消去y，

得．…………6分

，      ①

，                  ②

由F（0，1），A，

則，

，∴，

得．……………………8分

將代入①、②，

得， ③

， ④……………10分

由③、④ 得，，

化簡(jiǎn)得，解得，.∴直線的方程為：．12分

考點(diǎn)：本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)，根據(jù)其性質(zhì)得到參數(shù)a,b的值，進(jìn)而得到其方程。同時(shí)聯(lián)立方程組，結(jié)合向量的關(guān)系式和韋達(dá)定理得到從那數(shù)k的值。