Question

【題目】如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面，為的中點.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由正方形的性質(zhì)得出，由平面得出，進而可推導(dǎo)出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；

（Ⅱ）取的中點，連接、，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法能求出二面角的余弦值.

（Ⅰ）是正方形，，

平面，平面，

、平面，且，平面 ，

又平面，平面平面；

（Ⅱ）取的中點，連接、，

是正方形，易知、、兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

在中，，，，

、、、，

設(shè)平面的一個法向量，，，

由，得，令，則，，.

設(shè)平面的一個法向量，，，

由，得，取，得，，得.

，

二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.