Question

設(shè)各項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)的數(shù)列{a_n}的為前n項(xiàng)和S_n=λna_n（a₁≠a₂，λ∈R）．
（1）求實(shí)數(shù)λ的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（用n，a₂表示）．
（3）證明：當(dāng)m+l=2p（m，l，p∈N^*）時(shí)，S_m•S_l≤S_p²．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=λa₁⇒λ=1或a₁=0，分類(lèi)討論即可求得實(shí)數(shù)λ的值；
（2）記S_n=

1

2

na_n，則S_n-1=

1

2

（n-1）a_n-1（n≥2），兩式相減，可求得

an

an-1

=

n-1

n-2

（n≥3），累乘可求得a_n=a₂（n-1）（n≥3），再檢驗(yàn)n=1或n=2時(shí)的情況即可；
（3）由a_n=a₂（n-1），S_n=

n(n-1)

2

a₂（a₂≠0）及m+l=2p（m，l，p∈N^*），作差Sp2-S_mS_n整理可得Sp2-S_mS_n=

a22

4

ml[（m+l）-2

ml

]≥0，從而使結(jié)論得證．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=λa₁，
∴λ=1或a₁=0，
若λ=1，則S_n=na_n，取n=2得a₁+a₂=2a₂，即a₁=a₂，這與a₁≠a₂矛盾；
∴a₁=0，取n=2得a₁+a₂=2λa₂，
又a₁≠a₂，故a₂≠0，
∴λ=

1

2

；
（2）記S_n=

1

2

na_n①，
則S_n-1=

1

2

（n-1）a_n-1（n≥2）②，
①-②得a_n=

1

2

na_n-

1

2

（n-1）a_n-1（n≥2），
又?jǐn)?shù)列{a_n}各項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)，且a₁=0，
∴

an

an-1

=

n-1

n-2

（n≥3），
∴

a3

a2

•

a4

a3

…

an

an-1

=

2

1

×

3

2

×

4

3

×…×

n-1

n-2

，
即a_n=a₂（n-1）（n≥3）；
當(dāng)n=1或n=2時(shí)，a_n=a₂（n-1）也適合，
∴a_n=a₂（n-1）；
（3）證明：∵a_n=a₂（n-1），
∴S_n=

n(n-1)

2

a₂（a₂≠0），
又m+l=2p（m，l，p∈N^*）
則Sp2-S_mS_n=

a22

4

{[p（p-1）]²-m（m-1）l（l-1）}
=

a22

4

{[(

m+l

2

)2-

m+l

2

]2-ml（m-1）（l-1）}
≥

a22

4

[(ml-

ml

)2-ml（m-1）（l-1）]
=

a22

4

ml[(

ml

-1)2-（m-1）（l-1）]
=

a22

4

ml[（m+l）-2

ml

]
≥0（當(dāng)且僅當(dāng)m=l時(shí)等號(hào)成立）
∴S_m•S_l≤S_p²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查數(shù)列與不等式的綜合，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．