Question

19．對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的“滯點(diǎn)”．己知函數(shù)f（x）=$\frac{2{x}^{2}-a}{x-2a}$，若f（x）在x∈[-1，1]內(nèi)存在“滯點(diǎn)”，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 直接利用新定義，列出方程，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：f（x）=x 即$\frac{2{x}^{2}-a}{x-2a}=x$，
可得：2x²-a=x²-2ax．即x²+2ax-a=0在[-1，1]的范圍內(nèi)有解．
設(shè) g（x）=x²+2ax-a=0，如果只有一個(gè)解：g（-1）•g（1）≤0，可得（1-3a）（1+a）≤0，
解得a≤-1或a$≥\frac{1}{3}$，
如果有兩個(gè)解：可得$\left\{\begin{array}{l}-1≤-a≤1\\ g（a）≤0\\ g（-1）≥0\\ g（1）≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-1≤-a≤1\\ 3{a}^{2}-a≤0\\ 1-3a≥0\\ 1+a≥0\end{array}\right.$，解得：a∈$[0，\frac{1}{3}]$
綜上：a∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的應(yīng)用，函數(shù)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．