Question

16．2016年雙十一期間，某電子產(chǎn)品銷售商促銷某種電子產(chǎn)品，該產(chǎn)品的成本為2元/件，通過市場分析，雙十一期間該電子產(chǎn)品銷售量y（單位：千件）與銷售價格x（單位：元）之間滿足關(guān)系式：y=$\frac{a}{x-2}$+2x²-35x+170（其中2＜x＜8，a為常數(shù)），且已知當(dāng)銷售價格為3元/件時，該電子產(chǎn)品銷售量為89千件．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值及雙十一期間銷售該電子產(chǎn)品獲得的總利潤L（x）；
（Ⅱ）銷售價格x為多少時，所獲得的總利潤L（x）最大？并求出總利潤L（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=3時，y=89，代入函數(shù)的解析式，解關(guān)于a的方程，可得a值；商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數(shù)為關(guān)于x的三次多項(xiàng)式函數(shù)；
（Ⅱ）用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點(diǎn)，從而得出最大值對應(yīng)的x值．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閤=3時，y=89，y=$\frac{a}{x-2}$+2x²-35x+170（其中2＜x＜8，a為常數(shù)），所以a+83=89，故a=6；
∴該商品每日的銷售量y=$\frac{6}{x-2}$+2x²-35x+170，
∴商場每日銷售該商品所獲得的利潤為L（x）=（x-2）（$\frac{6}{x-2}$+2x²-35x+170）
（Ⅱ）L（x）=6+（x-2）（2x²-35x+170），2＜x＜8．
從而，L′（x）=6（x-5）（x-8），
于是，當(dāng)x變化時，f（x）、f′（x）的變化情況如下表：

x	（2，5）	5	（5，8）
f'（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值141	單調(diào)遞減

由上表可得，x=5是函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，8）內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．
所以，當(dāng)x=5時，函數(shù)f（x）取得最大值，且最大值等于141．
答：當(dāng)銷售價格為5元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的運(yùn)用：求最值，求出利潤的函數(shù)式和正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．