Question

已知定義域為（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：
（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=f（x）成立；
（2）當x∈（1，2]時f（x）=2-x．給出結(jié)論如下：
①對任意m∈Z，有f（2^m）=0
②當x∈（2，4]時，有f（x）=4-2x；
③函數(shù)f（x）的值域為[0，1）；
④方程f（x）=log₃x的實根個數(shù)為3；
⑤函數(shù)f（x）-

1

2

在區(qū)間（1，+∞）上的零點由小到大組成一個數(shù)列{a_n}．則{a_n}的通項公式為a_n=3•2^n-2．
其中所有正確的結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：依據(jù)題中條件注意研究每個選項的正確性，連續(xù)利用題中第（1）個條件得到①正確；
根據(jù)條件求得f（x）=2-

x

2

，②錯誤；
作出f（x）的圖象，由圖象可知③④正確；
根據(jù)條件x=3×2^n-2，及通項公式為a_n=3•2^n-2，正確．

解答： 解：①當m∈Z時，在f（2x）=f（x）中令x=2^m，成立f（2^m+1）=f（2^m），∴f（2^m）=f（2）=0，正確；
②x∈（2，4]時，

x

2

∈（1，2]，f（

x

2

）=2-

x

2

，而f（x）=f（

x

2

），∴f（x）=2-

x

2

，錯誤；
作出f（x）的圖象，由圖象可知③④正確；

⑤當x∈（2^n-1，2ⁿ]，

x

2n-1

∈（1，2]，f（

x

2n-1

）=2-

x

2n-1

，而f（x）=f（

x

2n-1

），
∴f（x）=2-

x

2n-1

，由2-

x

2n-1

=

1

2

得x=3×2^n-2，
∴則{a_n}的通項公式為a_n=3•2^n-2．正確．
故答案為：①③④⑤．

點評：本題通過抽象函數(shù)，考查了函數(shù)的周期性，單調(diào)性，以及學生的綜合分析能力，難度大，屬于難題．