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在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2+
y2
4
=1在第一象限的部分為曲線C，曲線C在其上動點P（x0，y0）處的切線l與x軸和y軸的交點分別為A、B，且向量
OM
=
OA
+
OB
．
（1）求切線l的方程（用x0表示）；
（2）求動點M的軌跡方程．
（1）因為y=2
1-x2
，所以y′═-
2x
1-x2
，（3分）
故切線l的方程為y-2
1-x02
=-
2x0
1-x02
（x-x0），即y=-
2x0
1-x02
x+
2
1-x02
．（5分）
（2）設A（x1，0）、B（0，y2），M（x，y）是軌跡上任一點，
在y=-
2x0
1-x02
x+
2
1-x02
中，令y=0，得x1=
1
x0
；
令x=0，得y2=
2
1-x02
，則由
OM
=
OA
+
OB
，得
x=
1
x0
y=
2
1-x02
（8分）
消去x0，得動點M的軌跡方程為
1
x2
+
4
y2
=1（x＞1）．（10分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經過坐標原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標是
3
5
，點B的縱坐標是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數方程（以t為參數）及普通方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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