Question

如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC₁F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC₁=3，BE=1．
（Ⅰ）求BF的長；
（Ⅱ）求二面角E-FC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由長方體的幾何特征，我們可以建立空間坐標系，設出F點的坐標，我們易根據(jù)截面AEC₁F為平行四邊形，

AF

=

EC1

，得到F點的坐標；
（II）我們分別求出平面EFC₁及平面FC₁C的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角E-FC₁-C的余弦值．

解答：解：（I）建立如圖所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），B（2，4，0）A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C₁（0，4，3）設F（0，0，z）．
∵AEC₁F為平行四邊形，
∴

AF

=

EC1

即（-2，0，z）=（-2，0，2），∴z=2．
∴F（0，0，2）．
∴

EF

=(-2，-4，2)．于是|

BF

|=2

6

，即BF的長為2

6

．
（II）設

n1

為平面AEC₁F的法向量且

n1

=（x，y，z）
由

n1 • AE =0 n1 • AF =0

得

0×x+4×y+z=0 -2×x+0×y+2z=0

即

4y+z=0 -2x+2z=0

令z=1∴

x=1 y=- 1 4 .

平面FCC1的法向量為

AD

=（-2，0，0）
設二面角E-FC₁-C為α，則cosα=

| AD • n1 |

| AD |•| n1 |

=

2

2× 1+ 1 16 +1

=

4 33

33

．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，空間中點的坐標，其中（I）的關鍵是根據(jù)平行四邊形法則，得到

AF

=

EC1

，（II）的關鍵是求出平面EFC₁及平面FC₁C的法向量將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．