Question

設函數(shù)，曲線在點處的切線為.

（1）求；

（2）證明：.

 

Answer 1

（1） ；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求的值就一定要建立關于的兩個方程，通過解方程求出值，這就是方程思想，這里通過斜率關系確立一個方程，還有一個方程就是要用切點既在直線上，又在曲線上來確立，即用好切點的雙重身份；（2）通過重新構造函數(shù)，利用導數(shù)知識來研究函數(shù)的極值和最值，進而達到證明不等式的目的，此題如果想直接去研究的最小值，通過最小值比大，來達到證題的目的，那是很難辦到的，所以說構造函數(shù)是需要功底的，也是需要技巧的.

試題解析：（1） 函數(shù)的定義域為，，根據(jù)切點既在直線上，又在曲線上，依題意可得，，故 4分

（2）由（1）知， ，從而等價于.

設函數(shù)，則，所以當時，，當時，，故在單調遞減，在 單調遞增，從而在上的最小值為 10分

設函數(shù)，則，所以當時，，當時，，故在單調遞增，在單調遞減，從而在上的最大值為．又和在上取得最值的條件不同，所以綜上：當時，，即. 14分

考點：1.導數(shù)及其應用；2.函數(shù)的綜合應用.