Question

設(shè)橢圓M：＝1(a＞)的右焦點(diǎn)為F₁，直線l：x＝與x軸交于點(diǎn)A，若(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))．

(1)求橢圓M的方程；

(2)設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，EF為圓N：x²＋(y－2)²＝1的任意一條直徑(E、F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn))，求·的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由題設(shè)知，，，1分 　　由，得．3分 　　解得． 　　所以橢圓的方程為；4分 　　(2)方法1：設(shè)圓的圓心為， 　　則；6分 　　；7分 　　；8分 　　從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值；9分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4810/0019/d548bd8051362c16164804cc875211ec/C/Image191.gif" width=16 HEIGHT=17>是橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)，10分 　　所以，即；11分 　　因?yàn)辄c(diǎn)，所以；12分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4810/0019/d548bd8051362c16164804cc875211ec/C/Image197.gif" width=105 height=32>，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值12；13分 　　所以的最大值為11；14分 　　方法2：設(shè)點(diǎn)， 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4810/0019/d548bd8051362c16164804cc875211ec/C/Image200.gif" width=33 height=21>的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以；6分 　　所以；7分 　　 　　 　　；9分 　　因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即；10分 　　因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即；11分 　　所以；12分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4810/0019/d548bd8051362c16164804cc875211ec/C/Image218.gif" width=104 height=26>，所以當(dāng)時(shí)，；14分 　　方法3：①若直線的斜率存在，設(shè)的方程為；6分 　　由，解得；7分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4810/0019/d548bd8051362c16164804cc875211ec/C/Image191.gif" width=16 HEIGHT=17>是橢圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)， 　　所以，即；8分 　　所以，；9分 　　所以；10分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4810/0019/d548bd8051362c16164804cc875211ec/C/Image197.gif" width=105 height=32>，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值11；11分 　�、谌糁本�的斜率不存在，此時(shí)的方程為， 　　由，解得或． 　　不妨設(shè)，，；12分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4810/0019/d548bd8051362c16164804cc875211ec/C/Image191.gif" width=16 HEIGHT=17>是橢圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)， 　　所以，即． 　　所以，． 　　所以． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4810/0019/d548bd8051362c16164804cc875211ec/C/Image197.gif" width=105 height=32>，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值11；13分 　　綜上可知，的最大值為11．(14分)