Question

7．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F與雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右頂點(diǎn)重合，拋物線與直線l：y=k（x-2）（k≠0）交于A、B兩點(diǎn)，AF、BF的延長(zhǎng)線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的方程；
（2）求證：直線CD恒過(guò)一定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由已知得雙曲線的右頂點(diǎn)（1，0），即有拋物線：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0），由此能求出拋物線的方程；
（2）設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，得ky²-4y-8k=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量知識(shí)能求出CD直線恒過(guò)定點(diǎn)．

解答 （1）解：由雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右頂點(diǎn)為（1，0），
即有拋物線：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F為（1，0），
即有拋物線的方程為y²=4x．
（2）證明：設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，得ky²-4y-8k=0，
△=16+32k²＞0，y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-8，
設(shè)C（$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{4}$，y₃），則$\overrightarrow{FA}$=（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$-1，y₁），$\overrightarrow{FC}$=（$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{4}$-1，y₃），
∵A，F(xiàn)，C共線，∴（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$-1）y₃=（$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{4}$-1）y₁，
∴（y₁-y₃）（$\frac{{y}_{1}{y}_{3}}{4}$+1）=0，
解得y₃=y₁（舍），或y₃=-$\frac{4}{{y}_{1}}$，
∴C（$\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}$，-$\frac{4}{{y}_{1}}$），同理，D（$\frac{4}{{{y}_{2}}^{2}}$，-$\frac{4}{{y}_{2}}$），
∴CD的方程為y+$\frac{4}{{y}_{1}}$=$\frac{\frac{-4}{{y}_{1}}+\frac{4}{{y}_{2}}}{\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}-\frac{4}{{{y}_{2}}^{2}}}$（x-$\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}$），
即y=-$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$x-$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，即y=2k（x-$\frac{1}{2}$），
故CD直線恒過(guò)定點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線、拋物線、直線方程等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．