（本小題滿分12分）
已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2.
（1）求曲線的方程；
（2）曲線在點處的切線與軸交于點.直線分別與直線及軸交于點，以為直徑作圓，過點作圓的切線，切點為，試探究：當點在曲線上運動（點與原點不重合）時，線段的長度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.
（1）.（2）當點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變，證明見解析.

試題分析：（1）思路一：設為曲線上任意一點，
依題意可知曲線是以點為焦點，直線為準線的拋物線，
得到曲線的方程為.
思路二：設為曲線上任意一點，
由，化簡即得.
（2）當點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變，證明如下：
由（1）知拋物線的方程為，
設，得，
應用導數(shù)的幾何意義，確定切線的斜率，進一步得切線的方程為.
由，得.
由，得.
根據(jù)，得圓心，半徑，
由弦長，半徑及圓心到直線的距離之關(guān)系，確定.
試題解析：解法一：（1）設為曲線上任意一點，
依題意，點S到的距離與它到直線的距離相等，
所以曲線是以點為焦點，直線為準線的拋物線，
所以曲線的方程為.
（2）當點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變，證明如下：
由（1）知拋物線的方程為，
設，則，
由，得切線的斜率
，
所以切線的方程為，即.
由，得.
由，得.
又，所以圓心，
半徑，
.
所以點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變.

解法二：
（1）設為曲線上任意一點，
則，
依題意，點只能在直線的上方，所以，
所以，
化簡得，曲線的方程為.
（2）同解法一.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為，為上頂點，為坐標原點，若△的面積為，且橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在直線交橢圓于，兩點， 且使點為△的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過原點的直線與橢圓交于兩點（不是橢圓的頂點）.點在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于兩點.
（i）設直線的斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值；
（ii）求面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過拋物線y2=2px（p＞0）焦點的直線交拋物線于A、B兩點，則|AB|的最小值為（　�。�
A．
p
2
B．pC．2pD．無法確定

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖是拋物線形拱橋，當水面離橋頂4m時，水面寬8m；
（1）試建立坐標系，求拋物線的標準方程；
（2）若水面上升1m，則水面寬是多少米？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知是拋物線的焦點，點，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標原點），則與面積之和的最小值是（   ）
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

平面上以機器人在行進中始終保持與點的距離和到直線的距離相等.若機器人接觸不到過點且斜率為的直線，則的取值范圍是___________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的左右頂點分別為，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點為曲線:上任一點（點不同于），直線與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設雙曲線＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線y＝x2＋1相切，則該雙曲線的離心率等于(　　)
A．B．2 C．D．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案