Question

已知函數(shù)是偶函數(shù)。
（1）求的值；
（2）設函數(shù)，其中實數(shù)。若函數(shù)與的圖象有且只有一個交點，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)定義可得到關于k的方程，根據(jù)對應系數(shù)相等可解出k的值。（2）由題意分析可知將函數(shù)與的圖象有且只有一個交點的問題 為方程只有一個根的問題。將整理變形并結合換元法可轉化為，在上只有一個解的問題。因為此二次函數(shù)對稱軸是變量，屬于動軸定區(qū)間問題。分情況討論，詳見解析。
試題解析：解:（1）∵ 由題有對恒成立 …2分
即恒成立，整理得，所以∴
（2）由函數(shù)的定義域得， 由于
所以      即定義域為
∵函數(shù)與的圖象有且只有一個交點，即方程
在上只有一解。
即：方程在上只有一解
令，則，上式可變形為，在上只有一個解。
當時，舍。
當時，記，其圖像的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，而。所以方程在上無解。
當時，記，其圖象的對稱軸
所以只需，即，此恒成立
∴此時的范圍為
綜上所述，所求的取值范圍為