Question

如圖，是某三棱柱被截去一部分后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖，在直觀圖中，CF=2AD，M是DF的中點(diǎn)．側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形；俯視圖是直角梯形，．有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．

（1）求該幾何體的體積；
（2）求證：EM⊥平面ACDF．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取CF中點(diǎn)P，過(guò)P作PQ∥CB交BE于Q，連接PD，QD，該幾何體的體積V=V_{三棱柱PDQ-ABC}+V_D-EFPQ然后求解即可．
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)O，EF中點(diǎn)R，連接OA，OR，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OR，OA所在直線分別為x，y，z軸．建立空間直角坐標(biāo)系，求平面ABED的法向量

n2

，平面DEF的法向量為

n1

，利用 cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1| |n2 |

求二面角B-DE-F的余弦值．

解答：
解：（Ⅰ）取CF中點(diǎn)P，過(guò)P作PQ∥CB交BE于Q，
連接PD，QD，AD∥CP，且AD=CP．四邊形ACPD為平行四邊形，
∴AC∥PD，∴平面PDQ∥面ABC．
∴V=V三棱柱PDQ-ABC+VD-EFPQ=

1

2

×22sin60°×2+

1

3

×

(1+2)×2

2

3

=3

3

；（5分）
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)O，EF中點(diǎn)R，連接OA，OR．
則OA⊥BC，∴OA⊥平面BCFE，OA⊥OR．
又∵OR⊥BC，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OR，OA所在直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），D（0，2，

3

），E（1，3，0），F(xiàn)（-1，4，0）
設(shè)平面DEF的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)
∵

n1 ⊥ EF n1 ⊥ DE

∴

n1 • EF =0 n1 • DE =0

∵

EF

=(-2，1，0)

DE

=(1，1，-

3

)
∴

-2x1+y1=0 x1+y1- 3 z1=0

令 Z1=

3

得x1=1，y1=2∴

n1

=(1，2，

3

)
設(shè)平面ABED的法向量

n2

=(x2，y2，z2)
∵

n2 ⊥ BE n2 ⊥ DE

∴

n2 • BE =0 n2 • DE =0

BE

=(0，3，0)，

DE

=(1，1，-

3

)，∴

3y2=0 x2，+y2- 3 z2=0

令 z2=1 得x2=

3

，y2=0，∴

n2

=(

3

，0，1)
∴

n1

•

n2

=2

3

∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1| |n2 |

=

6

4

，
顯然二面角B-DE-F的平面角為鈍角，
所以二面角B-DE-F的余弦值為 -

6

4

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三視圖求體積，求組合幾何體的面積、體積問(wèn)題，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，解答的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系后利用空間向量解決，是中檔題．