Question

已知向量=（2cos²x，），=（1，sin2x），函數(shù)f（x）=•．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a=1且f（A）=3，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）==2cos²x+sin2x=2sin（2x+）+1，…（3分）
令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z．
故 f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈z．…（6分）
（Ⅱ）∵a=1且f（A）=3，∴sin（2A+）=1，由于 0＜A＜π，即 A=．
又 a²=b²+c²-2bc•cosA 及 b²+c²≥2bc，∴bc≤，…（9分）
∴S= sinA≤=，當(dāng)且僅當(dāng) b=c時，取“=”．
∴S的最大值為 ．…（12分）
分析：（Ⅰ）利用兩個向量的數(shù)量積公式滑進(jìn)函數(shù)f（x）的解析式為2sin（2x+）+1，令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由 a=1且f（A）=3，求得A=．再由余弦定理以及基本不等式求得 bc≤，可得 S= sinA≤=．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的增區(qū)間，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．