Question

已知函數(shù)f（x）=x³（x＞0），點A_n（n，y_n），A_n+1（n+1，y_n+1）在函數(shù)f（x）的圖象上（n∈N^*）過點A_n，A_n+1的切線分別為L_n，L_n+1，L_n與L_n+1的交點的橫坐標為x_n．設an=

3

2(2n-1)

(xn-1)，則

lim

n→∞

a1+a2+…+an

n

=（　�。�

• A．

  3

  4

• B．1
• C．

  15

  16

• D．

  13

  16

Answer 1

分析：先求出其導函數(shù)，進而得到在點A_n，A_n+1的切線方程，根據(jù)函數(shù)值相等求出L_n與L_n+1的交點的橫坐標x_n的表達式；進而求出a_n的表達式，通過對其分離常數(shù)以及裂項即可求出答案．

解答：解：對y=x³（n∈N^*）求導得y′=3x²，
令x=n得在點A_n（n，y_n）處的切線的斜率k=3n²，
所以在點A_n（n，y_n）處的切線方程為y-n³=k（x-n）=3n²（x-n）⇒y=3n²x-2n³；
同理在A_n+1的切線方程為：y-（n+1）³=3（n+1）²[x-（n+1）]⇒y=3（n+1）²x-2（n+1）³．
∴3n²x-2n³=3（n+1）²x-2（n+1）³⇒x=

2(3n 2+3n+1)

3(2n+1)

即xn=

2(3n 2+3n+1)

3(2n+1)

⇒x_n-1=

6n 2-1

3(2n+1)

．
∴an=

3

2(2n-1)

(xn-1)=

3

2(2n-1)

•

6n2-1

3(2n+1)

=

6n2-1

2(2n+1)(2n-1)

=

3 4 (8n 2-2)+ 1 2

8n 2-2

=

3

4

+

1

4(4n 2-1)

=

3

4

+

1

8

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．
∴

lim

n→∞

a1+a2+…+an

n

=

lim

n→∞

[ 3 4 + 1 8 (1- 1 3 )]+[ 3 4 + 1 8 ( 1 3 - 1 5 )]+…+[ 3 4 + 1 8 ( 1 2n-1 - 1 2n+1 )]

n

=

lim

n→∞

3 4 n+ 1 8 (1- 1 2n+1 )

n

=

lim

n→∞

（

3

4

+

1

4

×

1

2n+1

）
=

3

4

．
故選：A．

點評：本小題主要考查直線的斜率、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、數(shù)列的分組求和，裂項相消等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．