Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²+ax
（1）當(dāng)a=-3時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=-4時(shí)，求方程f（x）+x²=0在（1，+∞）上的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值為0，求出x的值，代入驗(yàn)證極值點(diǎn)左右兩邊的導(dǎo)數(shù)符號(hào)是否相反．
（2）把a(bǔ)=-4代入，令g（x）=f（x）+x²=lnx+2x²-4x，只要求出g（x）在區(qū)間（1，+∞）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可，求導(dǎo)數(shù)可知g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞增的函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理可得結(jié)論

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx+x²+ax
∴f′（x）=

1

x

+2x-3
令f′（x）=0則x=1或

1

2

，
∴f（x）在（0，

1

2

），（1，+∞）單增，在（

1

2

，1）單減，
∴f（x）的極大值點(diǎn)x=

1

2

，極小值點(diǎn)x=1；
（2）當(dāng)a=-4時(shí)，令g（x）=f（x）+x²=lnx+2x²-4x，
只要求出g（x）在區(qū)間（1，+∞）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可，
由g′（x）=

1

x

+4x-4=

(2x-1)2

x

在（1，+∞）上恒大于0可知，
g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞增的函數(shù)，
又由g（1）=-2＜0，g（2）=ln2＞0，
故g（x）在區(qū)間（1，+∞）上恰有1個(gè)零點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問(wèn)題，要注意極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0是函數(shù)有極值的必要不充分條件．