Question

已知函數(shù)，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q（）的等比數(shù)列.若

(Ⅰ)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；     

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列對(duì)任意自然數(shù)n均有，求 的值；

(Ⅲ)試比較與的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1），  （2）        （3）

【解析】

試題分析：(Ⅰ) ∵ ， ∴ .

即 ， 解得 d =2.

∴ . ∴     2分

∵ , ∴ .

∵ , ∴ .

又， ∴ .  4分

(Ⅱ) 由題設(shè)知 ， ∴.

當(dāng)時(shí), ,

,

兩式相減,得.

∴  (適合).  7分

設(shè)T=,

∴

兩式相減 ,得

.

∴ .  10分

(Ⅲ) ,  .

現(xiàn)只須比較與的大小.

當(dāng)n=1時(shí), ；

當(dāng)n=2時(shí), ；

當(dāng)n=3時(shí), ；

當(dāng)n=4時(shí), .

猜想時(shí)，.     12分            

用數(shù)學(xué)歸納法證明

(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊，右邊，成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí), 不等式成立，即.

當(dāng)n=k+1時(shí),

.

即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.

由（1）（2），可知時(shí)，都成立.

所以 （當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時(shí)，等號(hào)成立）

所以.即.    14分

考點(diǎn)：等差數(shù)列和等比數(shù)列

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和運(yùn)用，以及數(shù)學(xué)歸納法來猜想證明大小，屬于難度試題。