Question

已知數(shù)列{a_n}的首項為1，對任意的n∈N^*，定義b_n=a_n+1-a_n．
（Ⅰ） 若b_n=n+1，求a₄；
（Ⅱ） 若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=a，b₂=b（ab≠0）．
（�。┊�(dāng)a=1，b=2時，求數(shù)列{b_n}的前3n項和；
（ⅱ）當(dāng)a=1時，求證：數(shù)列{a_n}中任意一項的值均不會在該數(shù)列中出現(xiàn)無數(shù)次．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列{a_n}的首項為1，把n=1代入b_n=a_n+1-a_n及b_n=n+1中，得到數(shù)列{a_n}第2項的值，由求出的第2項的值和n=2代入求出的b₂，即可求出數(shù)列{a_n}第3項的值，由求出的第3項的值和n=3代入求出的b₃，即可求出數(shù)列{a_n}第4項a₄的值；
（Ⅱ）（�。└鶕�(jù)已知的條件b_n+1b_n-1=b_n，當(dāng)n大于等于2時，把n換為n+6，代入已知的等式后，化簡得到b_n+6=b_n，得到數(shù)列{b_n}各項的值重復(fù)出現(xiàn)，周期為6，又b₁=a=1，b₂=b=2，根據(jù)b_n+1b_n-1=b_n，依次得到b₃，b₄，b₅，b₆的值，且求出六個數(shù)的和，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，然后分n為偶數(shù)即n=2k和n為奇數(shù)即n=2k+1兩種情況考慮，當(dāng)n=2k時，S_3n等于S_6k，根據(jù)數(shù)列{b_n}各項的值重復(fù)出現(xiàn)，周期為6，得到S_3n等于S_6k等于前6項之和的k倍，即可求出S_3n的值，當(dāng)n=2k+1時，S_3n等于S_6k+3等于前6項之和的k倍加上第6k+1，6k+2，6k+3三項，又根據(jù)數(shù)列{b_n}各項的值重復(fù)出現(xiàn)，周期為6，得到S_3n等于S_6k+3等于7k加上第1、2及3項的和，進而得到S_3n的值；
（ⅱ）由（i）得到數(shù)列{b_n}各項的值重復(fù)出現(xiàn)，周期為6，b₁=a=1，再根據(jù)b_n+1b_n-1=b_n，第2項等于b，即可表示出第3項到第6項的值，且表示出六項的和，設(shè)c_n=a_6n+i，所以c_n+1-c_n，根據(jù)數(shù)列的周期性得到之差等于前6項的和，數(shù)列{a_6n+i}均為等差數(shù)列，公差為前6項的和，當(dāng)b大于0時，得到公差大于0，當(dāng)b小于0時得到公差小于0，所以{a_6n+i}為公差不為零的等差數(shù)列，其中任何一項的值最多在該數(shù)列中出現(xiàn)一次．即數(shù)列{a_n}中任意一項的值最多在此數(shù)列中出現(xiàn)6次不會出現(xiàn)無數(shù)次，得證．

解答：解：（Ⅰ）由a₁=1及b_n=n+1，令n=1，得到a₂=a₁+b₁=1+2=3，
令n=2，得到a₃=a₂+b₂=3+3=6，
令n=4，得到a₄=a₃+b₃=6+4=10；

（Ⅱ）（�。┮驗閎_n+1b_n-1=b_n（n≥2），
所以，對任意的n∈N^*有bn+6=

bn+5

bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=bn，
即數(shù)列{b_n}各項的值重復(fù)出現(xiàn)，周期為6．（5分）
又?jǐn)?shù)列{b_n}的前6項分別為1，2，2，1，

1

2

，

1

2

，且這六個數(shù)的和為7．
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，
則當(dāng)n=2k（k∈N^*）時，S_3n=S_6k=k（b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆）=7k，
當(dāng)n=2k+1（k∈N^*）時，S_3n=S_6k+3=k（b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆）+b_6k+1+b_6k+2+b_6k+3=7k+b₁+b₂+b₃=7k+5，（7分）
所以，當(dāng)n為偶數(shù)時，S3n=

7

2

n；當(dāng)n為奇數(shù)時，S3n=

7n+3

2

．（8分）

（ⅱ）證明：由（�。┲�：對任意的n∈N^*有b_n+6=b_n，
又?jǐn)?shù)列{b_n}的前6項分別為1，b，b，1，

1

b

，

1

b

，且這六個數(shù)的和為2b+

2

b

+2．
設(shè)c_n=a_6n+i（n≥0），（其中i為常數(shù)且i∈{1，2，3，4，5，6}），
所以c_n+1-c_n=a_6n+6+i-a_6n+i=b_6n+i+1+b_6n+i+2+b_6n+i+3+b_6n+i+4+b_6n+i+5+b_6n+i+6=2b+

2

b

+2．
所以，數(shù)列{a_6n+i}均為以2b+

2

b

+2為公差的等差數(shù)列．（10分）
因為b＞0時，2b+

2

b

+2＞0，b＜0時，2b+

2

b

+2≤-2＜0，（12分）
所以{a_6n+i}為公差不為零的等差數(shù)列，其中任何一項的值最多在該數(shù)列中出現(xiàn)一次．
所以數(shù)列{a_n}中任意一項的值最多在此數(shù)列中出現(xiàn)6次，即任意一項的值不會在此數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次．（14分）

點評：此題考查學(xué)生會利用數(shù)列的遞推式得到數(shù)列的特征及周期性，根據(jù)數(shù)列的遞推式及周期性求出數(shù)列的和，是一道中檔題．