Question

已知為橢圓的左右焦點，是坐標原點，過作垂直于軸的直線交橢圓于，設 .
（1）證明： 成等比數列；
(2)若的坐標為，求橢圓的方程；
（3）在(2)的橢圓中，過的直線與橢圓交于、兩點，若，求直線的方程．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）

試題分析：（1）由條件知M點的坐標為（c，y₀），其中|y₀|=d，知，d=b•＝，由此能證明d，b，a成等比數列．
（2）由條件知c＝，d＝1，知b²＝a?1，a²＝b²+2，由此能求出橢圓方程．
（3）設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），當l⊥x軸時，A（-，-1）、B（-，1），所以≠0． 設直線的方程為y=k（x+），代入橢圓方程得(1+2k²)x²+4k²x+4k²?4＝0再由韋達定理能夠推導出直線的方程．
試題解析：(1)證明：由條件知M點的坐標為，其中，
， ，即成等比數列．   3分
(2)由條件知，橢圓方程為 6分
（3）設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），當l⊥x軸時，A（-，-1）、B（-，1），所以≠0． 設直線的方程為y=k（x+），代入橢圓方程得(1+2k²)x²+4k²x+4k²?4＝0所以①由得
整理后把①式代入解得k=，
所以直線l的方程為.