(2006·福建)如下圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，．

(1)求證：AO⊥平面BCD；

(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值；

(3)求點E到平面ACD的距離．
答案：略
解析：

(1)證明：連接OC．

∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．

∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．

在△AOC中，由已知可得AO=1，．

而AC=2，

∴．

∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．

∵，

∴AO⊥平面BCD．

(2)以O為原點，如下圖建立空間直角坐標系，

則B(1，0，0)，D(－1，0，0)，，A(0，0，1)，，，．

∴．

∴異面直線AB與CD所成角的余弦值是．

(3)設平面ACD的法向量為n=(x，y，z)，則

∴

令y=1，得是平面ACD的一個法向量．又，

∴點E到平面ACD的距離．


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