Question

設(shè)平面內(nèi)的向量，，，點(diǎn)P是直線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)取最小值時(shí)，的坐標(biāo)及∠APB的余弦值．

Answer 1

解：由題意，可設(shè)=（x，y），∵點(diǎn)P在直線OM上，
∴與共線，而，
∴x-2y=0，即x=2y，故=（2y，y），
又==（1-2y，7-y），==（5-2y，1-y），
所以=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5y²-20y+12，
當(dāng)y==2時(shí)，=5y²-20y+12取最小值-8，
此時(shí)=（4，2），=（-3，5），=（1，-1），
∴cos∠APB===
分析：可設(shè)=（x，y），由與共線可得x=2y，進(jìn)而可得=5y²-20y+12，可知當(dāng)y=2時(shí)取最小值，可得的坐標(biāo)，而∠APB的余弦值等于，代入坐標(biāo)可求．
點(diǎn)評：本題考查向量共線的條件，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的模的求法及利用數(shù)量積計(jì)算夾角的余弦，綜合性強(qiáng)，屬中檔題．