如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是正方形，

側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點．

    （Ⅰ）證明PA∥平面BDE；

    （Ⅱ）求二面角B－DE－C的余弦值；

    （Ⅲ）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF．

    證明你的結(jié)論．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解（1）以D為坐標(biāo)原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=DC=2，則A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），

B（2，2，0）   

設(shè) 是平面BDE的一個法向量，

則由 

∵    …………4分 （2）由（Ⅰ）知是平面BDE的一個法向量，又是平面DEC的一個法向量．

設(shè)二面角B—DE—C的平面角為，

由圖可知

∴

故二面角B—DE—C的余弦值為 ………………8分

 

（3）∵

∴

假設(shè)棱PB上存在點F，使PB⊥平面DEF，設(shè)，

    則，

    由，

    即在棱PB上存在點F，PB，使得PB⊥平面DEF   ………12分

 

練習(xí)冊系列答案
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如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點D到平面PCE的距離．

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如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設(shè)PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點E，F(xiàn)分別是AB和PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
12
CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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