Question

已知函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)（-2，-3），且滿足f（x-2）=ax²-（a-3）x+（a-2），設(shè)g（x）=f[f（x）]，F(xiàn)（x）=pg（x）-4f（x）
（I）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）是否存在正實(shí)數(shù)p，使F（x）在（-∞，f（2））上是增函數(shù)，在（f（2），0）上是減函數(shù)？若存在，求出p；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）欲求f（x）的表達(dá)式，只要先求出a值即可，利用函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)（-2，-3），可求出a值，從而問題獲解；
（II）對(duì)于存在性問題，先假設(shè)存在，正實(shí)數(shù)p，使F（x）在（-∞，-3）上是增函數(shù)，在（-3，0）上是減函數(shù)．再結(jié)合題目中條件求出p值，最后看對(duì)于求出的p值，函數(shù)F（x）是否符合要求，若符合，則存在，若不符合，則不存在．

解答：解：（I）令x-2=t，則x=2+t∴f（t）=a（2+t）²-（a-3）（2+t）+（a-2）∵f（-2）=-3∴a-2=-3，∴a=-1（13分）
∴f（t）=-（2+t）²+4（2+t）-3=-t²+1，即f（x）=-x²+1（15分）
（II）g（x）=f[f（x）]=f（-x²+1）=-（-x²+1）²+1=-x⁴+2x²F（x）=pg（x）-4f（x）=p（-x⁴+2x²）-4（-x²+1）=-px⁴+（2p+4）x²-4Fn（x）=-4px³+4（p+2）x=-4x（px²-p-2）
∵f（2）=-3，假設(shè)存在正實(shí)數(shù)p，使F（x）在（-∞，-3）上是增函數(shù)，在（-3，0）上是減函數(shù)∴Fn（-3）=0，解得p=

1

4

（10分）
當(dāng)p=

1

4

時(shí)，F(xiàn)n（x）=-x³+9x=x（3-x）（3+x）
當(dāng)x＜-3時(shí)，F(xiàn)n（x）＞0∴F（x）在（-∞，-3）上是增函數(shù)
當(dāng)-3＜x＜0時(shí)，F(xiàn)n（x）＜0∴F（x）在（-3，0）上是減函數(shù)
∴存在正實(shí)數(shù)p=

1

4

，使得F（x）在（-∞，-3）上是增函數(shù)，在（-3，0）上是減函數(shù)（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．