Question

2．已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x₁）=f （$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；         
（2）判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．

Answer 1

分析 （1）令x₁=x₂，得f（1）=0．
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可，
（3）先求出f（9）=-2，再根據(jù)函數(shù)為減函數(shù)，即可得到$\left\{\begin{array}{l}{|x|＞9}\\{|x|＞0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：（1）令x₁=x₂，得f（1）=0．
（2）設(shè)任意的x₁，x₂＞0，且x₁＞x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）
又x＞1時(shí)，f（x）＜0，
∴由$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，得f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（3）由f（3）=-1，f（1）=0，得f（$\frac{1}{3}$）=f（1）-f（3）=1，
∴f（9）=f（$\frac{3}{\frac{1}{3}}$）=f（3）-f（$\frac{1}{3}$）=-2．
∴f（|x|）＜-2=f（9）可化為$\left\{\begin{array}{l}{|x|＞9}\\{|x|＞0}\end{array}\right.$
解得x＞9或x＜-9．

點(diǎn)評 本題的考點(diǎn)是抽象函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，根據(jù)證明函數(shù)單調(diào)性的方法，反復(fù)給x₁和x₂值利用給出恒等式，注意條件的利用；求解不等式時(shí)利用函數(shù)的奇偶性及條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值的關(guān)系，進(jìn)而由函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的大小，屬于中檔題．