Question

已知函數f（x）=xe^-2x（x∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數y=h（x）的圖象與函數y=f（x）的圖象關于直線x=

1

2

對稱．求證：當x＞

1

2

時，f（x）＞h（x）．
（Ⅲ）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），證明：x₁+x₂＞1．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,函數在某點取得極值的條件

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導函數，由導數的正負，可得函數的單調區(qū)間，從而可求函數的極值；
（Ⅱ）構造函數F（x）=f（x）-h（x），證明函數F（x）在（

1

2

，+∞）上是增函數，即可證得結論；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知函數在（-∞，

1

2

）上是增函數，在（

1

2

，+∞）上是減函數，f（x₁）=f（x₂），不妨設x₁＜

1

2

，x₂＞

1

2

，由（Ⅱ）可得f（x₂）＞h（x₂）=f（1-x₂），利用f（x）（-∞，

1

2

）上是增函數，即可得出結論．

解答： （Ⅰ）解：求導函數，f′（x）=（1-2x）e^-2x，令f′（x）=0，解得x=

1

2

由f′（x）＞0，可得x＜

1

2

；由f′（x）＜0，可得x＞

1

2

，
∴函數在（-∞，

1

2

）上是增函數，在（

1

2

，+∞）上是減函數
∴函數在x=

1

2

時取得極大值f（

1

2

）=

1

2e

；
（Ⅱ）證明：由題意，h（x）=f（1-x）=（1-x）e^2x-2，
令F（x）=f（x）-h（x），即F（x）=xe^-2x-（1-x）e^2x-2，
∴F′（x）=（2x-1）（e^4x-2-1）e^-2x，
當x＞

1

2

時，2x-1＞0，∴e^4x-2-1＞0，∵e^-x＞0，∴F′（x）＞0，
∴函數F（x）在（

1

2

，+∞）上是增函數
∵F（

1

2

）=0，∴x＞

1

2

時，F（x）＞F（

1

2

）=0
∴當x＞

1

2

時，f（x）＞h（x）；
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知函數在（-∞，

1

2

）上是增函數，在（

1

2

，+∞）上是減函數，f（x₁）=f（x₂），
∴不妨設x₁＜

1

2

，x₂＞

1

2

，
由（Ⅱ）可得f（x₂）＞h（x₂）=f（1-x₂），
∵f（x₁）=f（x₂），
∴f（x₁）＞f（1-x₂），
∵x₁＜

1

2

，1-x₂＜

1

2

，f（x）（-∞，

1

2

）上是增函數，
∴x₁＞1-x₂，
∴x₁+x₂＞1．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查不等式的證明，構造函數，確定函數的單調性是關鍵．