【題目】如圖，某市有相交于點O的一條東西走向的公路l，與南北走向的公路m，這兩條公路都與一塊半徑為1（單位：千米）的圓形商城A相切．根據(jù)市民建議，欲再新建一條公路PQ，點P、Q分別在公路l、m上，且要求PQ與圓形商城A也相切．

（1）當(dāng)P距O處4千米時，求OQ的長；

（2）當(dāng)公路PQ長最短時，求OQ的長．

【答案】(1) 3千米．(2) 千米

【解析】

（1）先建立以O為原點，直線l、m分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)直線方程為：，由直線與圓的位置關(guān)系可得，運算即可得解；

（2）設(shè)，，由PQ與圓A相切，得，再結(jié)合重要不等式即可得解.

解：（1）以O為原點，直線l、m分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．

設(shè)PQ與圓A相切于點B，連結(jié)AB，以1千米為單位長度，

則圓A的方程為，

由題意可設(shè)直線PQ的方程為，即，，

∵PQ與圓A相切，∴，解得，

故當(dāng)P距O處4千米時，OQ的長為3千米．

（2）設(shè)，，

則直線PQ方程為，即．

因為PQ與圓A相切，所以，

化簡得，即；

解法一：因此．

因為，，所以，于是．

又，解得，或

因為，所以，

，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

所以PQ最小值為，此時．

答：當(dāng)P、Q兩點距離兩公路的交點O都為（千米）時，新建公路PQ最短．

解法二：

化簡得，即．

因為

因為，所以．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到等號，

答：當(dāng)P、Q兩點距離兩公路的交點O都為（千米）時，新建公路PQ最短．

解法三：設(shè)PQ與圓A相切于點B，連結(jié)AB、AP、AQ，設(shè)，

則，，且，∴，

又∵，∴，

∴

（當(dāng)且僅當(dāng)取等號）

答：當(dāng)P、Q兩點距離兩公路的交點O都為（千米）時，新建公路PQ最短．

解法四：設(shè)PQ與相切于點B，設(shè)，，

則，，，

在中，由得：，

化簡得：，∴，

解得：或（舍）

（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）

∴當(dāng)時，PQ有最小值；

答：當(dāng)P、Q兩點距離公路交點O都為（千米）時，新建公路PQ最短．

練習(xí)冊系列答案
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已知，且，若數(shù)列和滿足：，且，．

若，求的取值范圍；

求證：數(shù)列是“擬等比數(shù)列”；

已知等差數(shù)列的首項為，公差為d，前n項和為，若，，，且是“擬等比數(shù)列”，求p的取值范圍請用，d表示．

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（2）一個家庭為剛出生的孩子設(shè)立創(chuàng)業(yè)基金，若每年初一次性給項目投資2萬元，那么，至少滿多少年基金共有本利和超過一百萬元?（精確到1年）

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