數(shù)列{an} 的前n項和Sn=2n-an，先計算數(shù)列的前4項，后猜想an并用數(shù)學歸納法證明之．
分析：令n=1、2、3、4，再利用公式Sn=2n-an可以直接求出出數(shù)列{an} 的前4項，猜想  an=
2n-1
2n-1
；再根據(jù)數(shù)學歸納法的證題步驟進行證明．
解答：解：計算得：a1=1，a2=
3
2
，a3=
7
4
，a4=
15
8
猜想  an=
2n-1
2n-1
；
下面用數(shù)學歸納法證明
（1）n=1時，成立；
（2）假設(shè)當n=k時成立，即ak=
2k-1
2k-1

則當n=k+1時，由Sk+1=2（k+1）-ak+1，得Sk+1-ak+1=2（k+1）-2ak+1，
∴Sk=2（k+1）-2ak+1，
∴2k-ak=2（k+1）-2ak+1，
∴ak+1=
2k+1-1
2(k+1)-1
．
這就是說，當n=k+1時，等式也成立．
由（1）（2）可知an=
2n-1
2n-1
                       
對n∈N•均成立．
點評：本題主要考查數(shù)列求和和數(shù)列遞推式的知識點，求數(shù)列遞推式可以用數(shù)學歸納法也可以直接利用an=Sn-Sn-1可求出an的通項公式
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項和Sn，并證明：不等式Sn+1≤4Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=px2+qx（p≠0），其導函數(shù)為f'（x）=6x-2，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若cn=
13
(an+2)，2b1+22b2+23b3+…+2nbn=cn，求數(shù)列{bn}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=2，an+1=2Sn+2（n∈N*），
（1）求a2以及數(shù)列{an}的通項公式；
（2）在an與an+1之間插入n個數(shù)，使這n個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列．
（�。┣笞C：
1
d1
+
1
d2
+
1
d3
+…+
1
dn
＜
15
16
（n∈N*）；
（ⅱ）求證：在數(shù)列{dn}中不存在三項dm，ds，dt成等比數(shù)列．（其中m，s，t依次成等比數(shù)列）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=log3（n+1），則a5等于（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•商丘二模）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若數(shù)列{an}的各項按如下規(guī)律排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
…，
1
n
，
2
n
，…，
n-1
n
，…有如下運算和結(jié)論：
①a24=
3
8
；
②數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比數(shù)列；
③數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n項和為Tn=
n2+n
4
；
④若存在正整數(shù)k，使Sk＜10，Sk+1≥10，則ak=
5
7
．
其中正確的結(jié)論是
①③④
①③④
．（將你認為正確的結(jié)論序號都填上）

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