已知函數(shù)f（x）=x+lnx和g（x）=x+
a2
x
．
（1）求f（x）在（1，f（1））處的切線方程．
（2）當a≠0時，求g（x）的單調(diào)區(qū)間．
考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用
分析：（1）由y=x+1nx，知y′=1+
1
x
，由此能求出函數(shù)y=x+1nx在點（1，1）處的切線方程；
（2）求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，可得g（x）的單調(diào)區(qū)間．
解答： 解：（1）∵y=x+1nx，
∴y′=1+
1
x
，
∴k=y′|x=1=1+1=2，
∴函數(shù)y=x+1nx在點（1，1）處的切線方程為y-1=2（x-1），
整理，得2x-y-1=0；
（2）∵g（x）=x+
a2
x
，
∴g′（x）=
x2-a2
x2
，
a＞0時，由g′（x）＞0可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-a），（a，+∞），
由g′（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-a，0），（0，a）；
a＜0時，由g′（x）＞0可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，a），（-a，+∞），
由g′（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（a，0），（0，-a）．
點評：本題考查函數(shù)的切線方程的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的數(shù)學思想，正確求導是關(guān)鍵．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|x2-3x＜0}，B={x|log3（x-1）＜1}，則下列結(jié)論中正確的是（　　）
A、2∈A∩B且1∈A∪B
B、2∈A∩B且1∉A∪B
C、2∉A∩B且1∈A∪B
D、2∉A∩B且1∉A∪B

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，∠A的平分線交BC于點D，交外接圓于點E，求證：AD2=AB•AC-BD•DC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x2-ax+ln
ax+1
2
(a＞0)．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對任意a∈（1，2），總存在x0∈[
1
2
，1]，使不等式f(x0)＞k(1-a2)成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3x2-9x+a
（1）對于任意實數(shù)x，f′（x）≥m恒成立，求m的取值范圍；
（2）若方程f（x）=0有且僅有一個實根，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ln
x
a
，g（x）=
x-a
ax
，a＞0．
（1）若曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0，求a的值；
（2）證明：當x＞a時，f（x）的圖象始終在g（x）的圖象的下方；
（3）當a=1時，設(shè)曲線C：h（x）=f（x）-e[1+
x
•g（x）]（e為自然對數(shù)的底數(shù)），h′（x）表示h（x）的導函數(shù)，求證：對于曲線C上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，存在唯一的x0∈（x1，x2），使直線AB的斜率等于h′（x0）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在三棱柱A1B1C1-ABC中，A1A⊥平面ABC，A1A=AB=AC=2，BC=2
2
，點D是BC的中點．
（Ⅰ）求證：A1B∥平面AC1D
（Ⅱ）在棱BC上是否存在一點P，使平面APC1與平面A1AB所成二面角（銳角）的余弦值為
3
3
？若存在，確定P的位置，并證明之；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一個盒子中裝有四張卡片，每張卡片上寫有一個數(shù)字，數(shù)字分別是1，2，3，4．現(xiàn)在從盒子中隨機抽取卡片．
（Ⅰ）若以此抽取三張卡片，求抽取的三張卡片上數(shù)字之和大于6的概率；
（Ⅱ）若第一次抽取一張卡片，放回后在抽取一張卡片，求兩次抽取中至少一次抽到數(shù)字3的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過圓O：x2+y2=1外一點P（2，2）作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PAOB的面積為
 
．

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