Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+2x+m

x

．
（1）若m為正常數(shù)，求x∈[1，2]上的最小值；
（2）若對(duì)?x∈[1，+∞﹚，f﹙x﹚＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，再結(jié)合x∈[1，2]，分類討論，即可求x∈[1，2]上的最小值；
（2）對(duì)?x∈[1，+∞﹚，f﹙x﹚＞0恒成立等價(jià)于?x∈[1，+∞﹚，x²+2x+m＞0恒成立，分離參數(shù)，求最值，即可求實(shí)數(shù)m的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

x2+2x+m

x

=x+

m

x

+2，則f′（x）=1-

m

x2

=0，
∴x=

m

（負(fù)值舍去），
∴

m

＞2，即m＞4時(shí)，f（x）_min=f（2）=4+

m

2

；
1≤

m

≤2，即1≤m≤4時(shí)，f（x）_min=f（

m

）=2

m

+2；

m

＜1，即0＜m＜1時(shí)，f（x）_min=f（1）=3+m；
（2）對(duì)?x∈[1，+∞﹚，f﹙x﹚＞0恒成立等價(jià)于?x∈[1，+∞﹚，x²+2x+m＞0恒成立，
∴m＞-（x²+2x）．
∵-（x²+2x）=-（x+1）²+1，x∈[1，+∞﹚，
∴x=1時(shí)，[-（x²+2x）]max=-3，
∴m＞-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，解決本題的關(guān)鍵是對(duì)問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，變?yōu)楹瘮?shù)的最值解決．