Question

正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，．設(shè)B₁D∩BC₁=F．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求證：BC₁⊥平面AB₁D．

Answer 1

【答案】分析：（I）連結(jié)A₁B，設(shè)A₁B交AB₁于E，連結(jié)DE．根據(jù)三角形的中位線定理，證出DE∥A₁C，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可得到
A₁C∥平面AB₁D；
（II）根據(jù)等邊△ABC的中線，證出AD⊥BC，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，證出AD⊥平面B₁BCC₁，從而得到AD⊥BC₁．矩形B₁C₁CB中利用Rt△B₁BD∽Rt△BCC₁，證出BC₁⊥B₁D．最后根據(jù)線面垂直判定定理，即可證出BC₁⊥平面AB₁D．
解答：解：（Ⅰ）連結(jié)A₁B，設(shè)A₁B交AB₁于E，連結(jié)DE．
∵△A₁BC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是A₁B的中點(diǎn)，
∴DE∥A₁C．        …（3分）
∵A₁C?平面AB₁D，DE?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．    …（6分）
（Ⅱ）∵△ABC是正三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC．
∵平面ABC⊥平面B₁BCC₁，平面ABC∩平面B₁BCC₁=BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面B₁BCC₁．
∵BC₁?平面B₁BCC₁，∴AD⊥BC₁．…（9分）
∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，，∴．
由此可得：，
∴Rt△B₁BD∽Rt△BCC₁，可得∠BDB₁=∠BC₁C．
∴∠FBD+∠BDF=∠C₁BC+∠BC₁C=90°
∴BC₁⊥B₁D，…（13分）
∵B₁D∩AD=D，B₁D、AD?平面AB₁D，
∴BC₁⊥平面AB₁D．       …（15分）
點(diǎn)評：本題給出底面為矩形且一個(gè)側(cè)面為垂直于底面的正三角形的四棱錐，求證線面平行和線面垂直．著重考查了空間線面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．