Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x+sin²x-

3

2

．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]的值域；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且c=

3

，f（C）=0，若向量

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB）共線，求a、b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,平行向量與共線向量,正弦定理,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=sin（2x-

π

6

）-1．根據(jù)x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的值域．
（Ⅱ）△ABC中，由f（C）=0求得sin（2C-

π

6

）=1，可得C=

π

3

．由向量

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB）共線，可得sinB=2sinA．根據(jù)A+B=

2π

3

，可得B=

π

2

，A=

π

6

，再根據(jù)c=

3

利用正弦定理求得 a和b的值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x+sin²x-

3

2

=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

-

3

2

=sin（2x-

π

6

）-1．
∵x∈[0，

π

2

]，∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，

3

2

]，
∴sin（2x-

π

6

）-1∈[-

3

2

，

3 -1

2

]，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-

1

2

，

3

2

]．
（Ⅱ）△ABC中，∵f（C）=0=sin（2C-

π

6

）-1，∴sin（2C-

π

6

）=1，2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

．
由向量

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB）共線，可得sinB-2sinA=0，sinB=2sinA．
再根據(jù)A+B=

2π

3

，可得sin（

2π

3

-A）=2sinA，化簡得tanA=

3

3

，∴A=

π

6

，故 B=

π

2

．
再根據(jù)c=

3

利用正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

3 2

=2，即

a

1 2

=

b

1

=2，∴a=1，b=2．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，兩個向量共線的性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．