Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

cos²x-

1

2

sin²x+sinxcosx+

1

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）銳角三角形ABC的三內(nèi)角分別為角A、B、C且f（

A

2

-

π

8

）=

2+ 6

4

，求sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式好化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（Ⅰ）根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間即可確定出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)f（

A

2

-

π

8

）=

2+ 6

4

，結(jié)合f（x）解析式求出A的度數(shù)，確定出B的范圍，用B表示出C代入sinB+sinC中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角得正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答： 解：f（x）=

1

2

cos2x+

1

2

sin2x+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
（Ⅰ）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得到kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（

A

2

-

π

8

）=

2+ 6

4

，得到

2

2

sinA+

1

2

=

2+ 6

4

，即sinA=

3

2

，
∵△ABC為銳角三角形，∴A=

π

3

，
∵0＜B＜

π

2

，0＜C=

2π

3

-B＜

π

2

，
∴

π

6

＜B＜

π

2

，
∴sinB+sinC=sinB+sin（B+

π

3

）=

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

sin（B+

π

6

），
∵

π

6

＜B＜

π

2

，∴

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin（B+

π

6

）≤1，即

3

2

＜

3

sin（B+

π

6

）≤

3

，
則sinB+sinC的范圍為（

3

2

，

3

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．