Question

已知α，β∈R，寫出用cosα，cosβ，sinα，sinβ表示cos（α-β）的關(guān)系等式，并證明這個(gè)關(guān)系等式．

Answer 1

解：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
證明：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α、β，它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A，B．
則=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），
由向量數(shù)量積的定義，有=cos＜＞=cos＜＞，
由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有=cosαcosβ+sinαsinβ．
于是cos＜＞=cosαcosβ+sinαsinβ． ①
對(duì)于任意的α、β，總可選取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)k，使得 α-β=＜＞+2kπ，或α-β=-＜＞+2kπ，
故對(duì)于任意的α、β，總有 cos（α-β）=cos＜＞成立，帶入①式得，
對(duì) α、β∈R，總有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ  成立．
分析：結(jié)論：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．證明：如圖所示，=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式可得
cos＜＞=cosαcosβ+sinαsinβ，再由 α-β=＜＞+2kπ，或α-β=-＜＞+2kπ，可證得結(jié)論成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角差的余弦公式及其證明方法，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，終邊相同的角，屬于中檔題．