Question

（05年福建卷理）（14分）

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a, a_n+1=1+我們知道當(dāng)a取不同的值時，得到不同的數(shù)列，如當(dāng)a=1時，得到無窮數(shù)列：

（Ⅰ）求當(dāng)a為何值時a₄=0；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n­}滿足b₁=－1, b_n+1=，求證a取數(shù)列{b_n}中的任一個數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列{a_n}；

（Ⅲ）若，求a的取值范圍.

Answer 1

解析：(Ⅰ)∵a₁=a,∴1+=a₂,∴a₂=,,,

故當(dāng)時,

(Ⅱ)∵b₁=-1,

當(dāng)a=b₁時,a₁=1+=0

當(dāng)a=b₂時,a₂==b₁,∴a₂=0,

當(dāng)a=b₃時,a₃=1+=b₂,∴a₃=1+,∴a₄=0,

……

一般地,當(dāng)a=b_n時,a_n+1=0,可得一個含育n+1項(xiàng)的有窮數(shù)列a₁,a₂,a₃,…,a_n+1.

可用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：

①     當(dāng)n=1時,a=b₁,顯然a₂=0,得到一個含2項(xiàng)的有窮數(shù)列a₁,a₂.

②     假設(shè)當(dāng)n=k時,a=b_k,得到一個含有k+1項(xiàng)的有窮數(shù)列a₁,a₂,a₃,…,a_k+1,其中a_k+1=0,則n=k+1時.a=b_k+1,∴a₂=1+.

由假設(shè)可知,可得到一個含有k+1項(xiàng)的有窮數(shù)列a₂,a₃,…,a_k+2,其中a_k+2=0.

由①②知,對一切n∈N⁺,命題都成立.

(Ⅲ)要使即,∴1<a_n-1<2.

∴要使,當(dāng)且僅當(dāng)它的前一項(xiàng)a_n-1,滿足1<a_n-1<2,∵(,2)(1,2),

∴只須當(dāng)a₄,都有

由得,

解不等式組得,故a>0.