Question

17．如圖所示，過(guò)點(diǎn)M（-2，0）作直線1交雙曲線x²-y²=1于A，B兩點(diǎn)，0為原點(diǎn)，以O(shè)A，OB為一組鄰邊作平行四邊形OAPB．
（1）試求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）是否存在這樣的直線l，使四邊形OAPB為矩形，若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，和雙曲線方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系，求出AB的中點(diǎn)，可得P的軌跡方程；當(dāng)過(guò)M（-2，0）的直線l的斜率不存在時(shí)，同樣滿足；
（2）分類(lèi)討論，利用x₁x₂+y₁y₂=0，進(jìn)一步得到（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0，把兩根的和與積代入后整理得到矛盾的式子，從而得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），代入雙曲線x²-y²=1，可得（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{4k}{1-{k}^{2}}$
∴AB的中點(diǎn)為（$\frac{2{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1-{k}^{2}}$），
設(shè)P（x，y），則x=$\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$，y=$\frac{4k}{1-{k}^{2}}$
∴x²+4x-y²=0；
當(dāng)過(guò)M（-2，0）的直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-2，把x=-2代入雙曲線x²-y²=1得，A（-2，$\sqrt{3}$），B（-2，-$\sqrt{3}$），P（-4，0）同樣滿足；
（2）當(dāng)過(guò)M（-2，0）的直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-2，把x=-2代入雙曲線x²-y²=1得，A（-2，$\sqrt{3}$），B（-2，-$\sqrt{3}$），此時(shí)不滿足∠AOB=90°，
當(dāng)過(guò)M（-2，0）的直線l的斜率存在時(shí)，x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{4{k}^{2}+1}{1-{k}^{2}}$，
若∠AOB=90°，則x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）（-$\frac{4{k}^{2}+1}{1-{k}^{2}}$）+2k²•$\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$+4k²=0
整理得，9k²+1=0．此式顯然不成立．
所以，不存在使∠AOB=90°的直線l．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題，常用“設(shè)而不求的”解題方法，即利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求得直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，此題考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．