Question

已知橢圓的右焦點(diǎn)F與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合，短軸長為2．橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸交于E，過右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，BC∥x軸．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出其離心率；
（2）求證：線段EF被直線AC平分．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)拋物線的方程求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得橢圓的c，短半軸b求得a，則橢圓的方程和離心率可得．
（2）根據(jù)（1）中的橢圓方程求得其準(zhǔn)線l的方程，求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)EF的中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)可得，先看當(dāng)AB垂直于x軸，則設(shè)出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，求得AC中點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷出線段EF的中點(diǎn)與AC的中點(diǎn)重合；再看AB不垂直于x軸，則可設(shè)直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，可表示出AM和CM的斜率，求得二者相等，進(jìn)而推斷出A、M、C三點(diǎn)共線，即AC過EF的中點(diǎn)M，最后綜合證明題設(shè)．

解答：解：（1）由題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y3

b2

=1（a＞b＞0）
∵y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0）
∴c=1，又2b=2，
∴b=1，a²=b²+c²=2，
所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1
其離心率為e=

2

2

（2）證明：∵橢圓的右準(zhǔn)線1的方程為：x=2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0）設(shè)EF的中點(diǎn)為M，則M（

3

2

，0）
若AB垂直于x軸，則A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁）
∴AC的中點(diǎn)為N（

3

2

，0）
∴線段EF的中點(diǎn)與AC的中點(diǎn)重合，
∴線段EF被直線AC平分，
若AB不垂直于x軸，則可設(shè)直線AB的方程為
y=k（x-1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則C（2，-y₂）
把y=k（x-1）代入

x2

2

+y2=1
得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0
則有x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2(k2-1)

1+2k2

∴k_AM=

y1

x1- 3 2

=

k(x1-1)

x1- 3 2

=

2k(x1-1)

2x1-3

，k_CM=

y2

2- 3 2

=2k(x2-1)，
∵k_AM-kCM=2k

(x1-1)-(x2-1)

2x1-3

2(x1-3)=0
=2k

3(x1+x2)-2x1x2-4

2x1-3

=0
∴k_AM=k_CM
∴A、M、C三點(diǎn)共線，即AC過EF的中點(diǎn)M，
∴線段EF被直線AC平分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓錐曲線的綜合運(yùn)用．考查了學(xué)生綜合分析問題和分類討論思想的運(yùn)用．屬中檔題．