【題目】已知函數(shù)，且．

（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，并給以證明；

（2）設(shè)關(guān)于的方程的兩根為，試問是否存在實數(shù)，使得不等式對任意的及恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）存在實數(shù)符合題意，其取值范圍是．

【解析】試題分析：（1）由可得，所以，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義求出函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。（2）由題意先求出的最大值為3，所以由題意可得當(dāng)，不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)，只需滿足，解得或，由此可得所求范圍，從而說明存在實數(shù)滿足題意。

試題解析：

（1）∵，

∴，

∴。

設(shè)，且，

則，

①當(dāng)時， ，

∴，又，

∴，

∴，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時， ，

∴，又，

∴，

∴，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）由，得，

∴是方程的兩根，

∴，

又，

∴，

故由題意得當(dāng)，不等式恒成立，

設(shè)，

則只須，

解得或，

故存在實數(shù)符合題意，其取值范圍是．

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【題目】在如圖所示的幾何體中，底面ABCD中，AB⊥AD，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是邊長為6的正三角形．

(1)求證：平面DEC⊥平面BDE；

(2)求點A到平面BDE的距離．

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【題目】甲、乙二人同時從地趕住地，甲先騎自行車到兩地的中點再改為跑步；乙先跑步到兩地的中點再改為騎自行車，最后兩人同時到達地．已知甲騎自行車比乙騎自行車的速度快，且兩人騎車的速度均大于跑步的速度．現(xiàn)將兩人離開地的距離與所用時間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示如下：

則上述四個函數(shù)圖象中，甲、乙兩人運行的函數(shù)關(guān)系的圖象應(yīng)該分別是（ ）

A. 圖①、圖② B. 圖①、圖④ C. 圖③、圖② D. 圖③、圖④

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【題目】一片森林原面積為．計劃從某年開始，每年砍伐一些樹林，且每年砍伐面積的百分比相等．并計劃砍伐到原面積的一半時，所用時間是10年．為保護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的．已知到今年為止，森林剩余面積為原面積的．

（1）求每年砍伐面積的百分比；

（2）到今年為止，該森林已砍伐了多少年？

（3）為保護生態(tài)環(huán)境，今后最多還能砍伐多少年？

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【題目】已知橢圓過點，且離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于、兩點，以為對角線作正方形，記直線與軸的交點為，問、兩點間距離是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由．

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【題目】某品牌汽車的店，對最近100份分期付款購車情況進行統(tǒng)計，統(tǒng)計情況如下表所示.已知分9期付款的頻率為0.4；該店經(jīng)銷一輛該品牌汽車，若顧客分3期付款，其利潤為1萬元；分6期或9期付款，其利潤為2萬元；分12期付款，其利潤為3萬元.

付款方式

分3期

分6期

分9期

分12期

頻數(shù)

20

20

（1）若以上表計算出的頻率近似替代概率，從該店采用分期付款購車的顧客（數(shù)量較大）中隨機抽取3為顧客，求事件：“至多有1位采用分6期付款“的概率；

（2）按分層抽樣方式從這100為顧客中抽取5人，再從抽取的5人中隨機抽取3人，記該店在這3人身上賺取的總利潤為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】如圖，菱形與正三角形的邊長均為2，它們所在平面互相垂直， 平面，且.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若，求幾何體的體積.

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在點處得切線方程與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）若在上為單調(diào)遞減函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)，求證： .

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