Question

設(shè)a₀+

1

2

a₁+

1

3

a₂+…+

1

n+1

a_n=0，其中a_i（i=0，1，…n）是不全為零的常數(shù)，試證明：多項式f（x）=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ在（0，1）內(nèi)至少有一個零點．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令g（x）=∫f（x）dx=∫（a₀+a₁x+…+a_nxⁿ）dx=a₀x+

a1

2

x²+

a2

3

x³+…+

an

n+1

xⁿ⁺¹，顯然g（0）=0，g（1）=a₀+

1

2

a₁+

1

3

a₂+…+

1

n+1

a_n=0，從而解決問題．

解答： 證明：已知a₀+

1

2

a₁+

1

3

a₂+…+

1

n+1

a_n=0，f（x）=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ，
令g（x）=∫f（x）dx=∫（a₀+a₁x+…+a_nxⁿ）dx=a₀x+

a1

2

x²+

a2

3

x³+…+

an

n+1

xⁿ⁺¹，
顯然g（0）=0，g（1）=a₀+

1

2

a₁+

1

3

a₂+…+

1

n+1

a_n=0，
而g（x）在（0，1）內(nèi)連續(xù)，且不恒等于0，∴g（x）在（0，1）至少存在一個極值，
故g′（x）=f（x）=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ=0在（0，1）內(nèi)至少有1個實數(shù)根，
∴f（x）=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ在（0，1）內(nèi)至少有一個零點．

點評：本題考查了函數(shù)的零點的判定定理，考查了不定積分的應(yīng)用，是一道中檔題．