Question

12．討論方程$\sqrt{|1-x|}$=kx的實數(shù)根的個數(shù)．

Answer 1

分析 作函數(shù)f（x）=$\sqrt{|1-x|}$與函數(shù)g（x）=kx的圖象，從而化方程的根的個數(shù)為圖象的交點的個數(shù)，從而解得．

解答 解：作函數(shù)f（x）=$\sqrt{|1-x|}$與函數(shù)g（x）=kx的圖象如下，
，
當x＞1時，f（x）=$\sqrt{x-1}$，f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$，
設(shè)切點為（x，y），則$\frac{\sqrt{x-1}}{x}$=$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$，
解得，x=2，故f′（2）=$\frac{1}{2}$；
故當k≤0或k＞$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）=$\sqrt{|1-x|}$與函數(shù)g（x）=kx的圖象有一個交點，
故方程$\sqrt{|1-x|}$=kx的實數(shù)根的個數(shù)為1；
當k=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）=$\sqrt{|1-x|}$與函數(shù)g（x）=kx的圖象有兩個交點，
故方程$\sqrt{|1-x|}$=kx的實數(shù)根的個數(shù)為2；
當0＜k＜$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）=$\sqrt{|1-x|}$與函數(shù)g（x）=kx的圖象有三個交點，
故方程$\sqrt{|1-x|}$=kx的實數(shù)根的個數(shù)為3．

點評 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的交點的關(guān)系應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合．