Question

如圖橢圓C的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，A是橢圓C的短軸左頂點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作斜率為-1的直線交橢圓于B點(diǎn)，點(diǎn)P（1，0），且BP∥y軸，△APB的面積為

9

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在直線AB上求一點(diǎn)M，使得以橢圓C的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過(guò)M的雙曲線E的實(shí)軸最長(zhǎng)，并求此雙曲線E的方程．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)△APB的面積為

9

2

，以及AB斜率為-1，求出A，B，P的坐標(biāo)，再把A，B坐標(biāo)代入橢圓C的方程

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，求出a，b的值即可．
（2）由（1）知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及在直線AB的方程，因?yàn)镸在雙曲線E上，要雙曲線E的實(shí)軸最大，只須||MF₁|-|MF₂||最大，找到||MF₁|-|MF₂|的范圍，求最值即可．

解答：解：（1）S△APB=

1

2

AP•PB=

9

2

，又∠PAB=45°，AP=PB，故AP=BP=3．
∵P（1，0），A（-2，0），B（1，-3）
∴b=2，將B（1，-3）代入橢圓得：

b=2 1 b2 + 9 a2 =1

得a²=12，
所求橢圓方程為

y2

12

+

x2

4

=1．
（2）設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，
則易知F₁（0，-2

2

）F₂（0，2

2

），
直線AB的方程為：x+y+2=0，因?yàn)镸在雙曲線E上，要雙曲線E的實(shí)軸最大，只須||MF₁|-|MF₂||最大，設(shè)F₁（0，-2

2

）關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為F₁'（2

2

-2，-2），則直線F₂F₁′與直線的交點(diǎn)為所求M，
因?yàn)镕₂F₁′的方程為：y+(3+2

2

)x-2

2

=0，聯(lián)立

y+(3+2 2 )x-2 2 =0 x+y+2=0

得M（1，-3）
又2a′=||MF₁|-|MF₂||=||MF₁'|-|MF₂||≤|F₂F₁'|
=

(2 2 -2-0)2+(-2-2 2 )2

=2

6

，故

a

′ max

=

6

，b′=

2

，
故所求雙曲線方程為：

y2

6

-

x2

2

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓，雙曲線的位置關(guān)系，做題時(shí)要細(xì)心．