Question

（2008•青浦區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C的圓心在第二象限，半徑為2

2

且與直線y=x相切于原點(diǎn)O．橢圓

x2

a2

+

y2

9

=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）圓C上是否存在點(diǎn)Q，使O、Q關(guān)于直線CF（C為圓心，F(xiàn)為橢圓右焦點(diǎn)）對(duì)稱，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可知，圓心所在直線與切線垂直，又因?yàn)閳A過原點(diǎn)，半徑為2

2

，即可求出圓方程．
（2）又橢圓的定義可求出橢圓方程，假設(shè)圓C上存在點(diǎn)Q，使O、Q關(guān)于直線CF對(duì)稱，根據(jù)圓方程和橢圓方程求出直線CF的方程，設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镺、Q關(guān)于直線CF對(duì)稱，所以直線OQ垂直于直線CF，斜率等于直線CF斜率的負(fù)倒數(shù)，且O，Q的中點(diǎn)在直線CF上，滿足直線CF的方程，據(jù)此，即可求Q點(diǎn)坐標(biāo)，若能求出，則存在，若求不出，則不存在．

解答：解：（1）由題意知：圓心（-2，2），半徑2

2

，圓C：（x+2）²+（y-2）²=8
（2）由條件可知a=5，橢圓

x2

25

+

y2

9

=1，
∴F（4，0）
若存在，直線CF的方程的方程為y=-

1

3

(x-4)即x+3y-4=0
設(shè)Q（x，y），則

y x =3 x 2 + 3y 2 -4=0

，
解得

x= 4 5 y= 12 5

，所以存在點(diǎn)Q，Q的坐標(biāo)為(

4

5

，

12

5

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，以及解析幾何中的對(duì)稱性問題，屬于常規(guī)題．