Question

如圖，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜邊AB的中點(diǎn)，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是（　�。�

• A、（0，

  3

  ]
• B、（

  2

  2

  ，2]
• C、（

  3

  ，2

  3

  ]
• D、（2，4]

Answer 1

分析：由已知條件推導(dǎo)出，AD=CD=BD=

x2+1

2

，BC=x，取BC中點(diǎn)E，翻折前DE=

1

2

AC=

1

2

，翻折后AE=

1- 1 4 x2

，AD=

x2+1

2

，從而求出0＜x＜

3

．翻折后，當(dāng)△B₁CD與△ACD在一個(gè)平面上，∠A=60°，BC=ACtan60°，此時(shí)x=1×

3

=

3

，由此能求出x的取值范圍為（0，

3

]．

解答：解：由題意得，AD=CD=BD=

x2+1

2

，BC=x，取BC中點(diǎn)E，
翻折前，在圖1中，連接DE，CD，則DE=

1

2

AC=

1

2

，
翻折后，在圖2中，此時(shí) CB⊥AD．
∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，
∴BC⊥AE，DE⊥BC，
又BC⊥AE，E為BC中點(diǎn)，∴AB=AC=1，
∴AE=

1- 1 4 x2

，AD=

x2+1

2

，
在△ADE中：①

x2+1

2

+

1

2

＞

1- 1 4 x2

，②

x2+1

2

＜

1

2

+

1- 1 4 x2

，③x＞0；
由①②③可得0＜x＜

3

．
如圖3，翻折后，當(dāng)△B₁CD與△ACD在一個(gè)平面上，
AD與B₁C交于M，且AD⊥B₁C，AD=B₁D=CD=BD，∠CBD=∠BCD=∠B₁CD，
又∠CBD+∠BCD+∠B₁CD=90°，
∴∠CBD=∠BCD=∠B₁CD=30°，
∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此時(shí)x=1×

3

=

3

綜上，x的取值范圍為（0，

3

]，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段長(zhǎng)的取值范圍的求法，要熟練掌握翻折問題的性質(zhì)，注意培養(yǎng)空間思維能力．